Meine Kameras und der Satz des Pythagoras

Ihr merkt schon an der Über­schrift: Heu­te schre­cke ich vor nichts zurück. Ich bin ja hier für die Basics ein­ge­teilt. Das war jeden­falls Pad­dys Plan, sich nicht mehr mit den Grund­la­gen her­um­zu­pla­gen, son­dern dafür einen Gehil­fen zu haben. Also machen wir jetzt ernst, mit Mathe­ma­tik für Foto­gra­fen nämlich.

Ich höre sie förm­lich rat­tern, die Jalou­sien, die jetzt bei man­chem von euch her­un­ter­fal­len, aber ich zie­he es trotz­dem durch – und bit­te euch nur um vier wei­te­re Sät­ze Geduld. Viel­leicht macht ihr dann ja doch wie­der auf.

Ers­tens: Ich weiß, dass Krea­ti­vi­tät sehr gut ohne Mathe­ma­tik funk­tio­niert, und dass außer­dem eine gute Idee wich­ti­ger ist als eine For­mel – wer woll­te das bezwei­feln? Zwei­tens: Trotz­dem ist es wahr, dass Phy­sik die Welt erklärt (und zwar die gan­ze), und dass die Grund­la­ge der Phy­sik die Mathe­ma­tik ist. Drit­tens: Das habe ich auch erst spät im Erwach­se­nen­al­ter ein­ge­se­hen, näm­lich durch „Big Bang Theo­ry“, ganz ehr­lich. Vier­tens: Da war es zu spät, um das in der Schu­le Ver­säum­te nach­zu­ho­len, aber ich pfle­ge mei­ne all­tags­ma­the­ma­ti­schen Kennt­nis­se seit­her bes­ser und habe ein groß­ar­ti­ges Anwen­dungs­feld dafür gefun­den – die Fotografie.

Und jetzt geht es mal gleich zur Sache mit der ulti­ma­ti­ven und mathe­ma­tisch kor­rek­ten Erklä­rung des Crop-Fak­tors – wofür der Satz des Pytha­go­ras eine wich­ti­ge Rol­le spielt.

Also: Es gibt ver­schie­de­ne Sen­sor­grö­ßen, wie ja alle wis­sen, und die meis­ten von uns stre­ben nach gro­ßen Sen­so­ren. Der Refe­renz­sen­sor ist der Voll­for­mat­sen­sor, der 36 Mil­li­me­ter breit ist und 24 Mil­li­me­ter hoch, genau wie jedes ein­zel­ne Nega­tiv auf einem Klein­bild­film. Las­sen wir das noch grö­ße­re und ungleich teu­re­re Mit­tel­for­mat mal außer Acht, sind alle ande­ren Sen­sor­klas­sen klei­ner als der Voll­for­mat­sen­sor, und zum Grö­ßen­ver­gleich gibt man gern den soge­nann­ten Cropf­ak­tor an. Zu deutsch ist das der Beschnitt­fak­tor, und die­se Zahl sagt exakt – ja, was genau?

Die­se Fra­ge woll­te ich mal mit einer 14-jäh­ri­gen Prak­ti­kan­tin erör­tern, die für drei Wochen bei mir war, aber ich muss­te fest­stel­len, dass ent­we­der der Mathe­ma­tik­stoff der ach­ten Klas­se The­men wie Sei­ten­ver­hält­nis oder Qua­drat­wur­zel nicht vor­sah, oder dass die­se Din­ge ein­fach nicht bei ihr ange­kom­men waren. Wir gaben es dann auf.

Größenverhältnis zwischen Vollformatsensor (dunkelblau) und APS-C-Sensor (hellblau)
Legt man einen APS-C-Sen­sor (hell­blau) auf einen Voll­for­mat­sen­sor, sieht er gar nicht so viel klei­ner aus . Auch des­halb glau­ben vie­le, der Cropf­ak­tor von 1,5 bedeu­te, dass die Sen­sor­flä­che bei APS-C 1,5 Mal klei­ner sei als beim Voll­for­mat. Die­ser Ein­druck täuscht.

Aber hier, vor erwach­se­nem Publi­kum, kann ich es ja noch ein­mal ver­su­chen: Der Cropf­ak­tor sagt, um wie viel kür­zer die Dia­go­na­le des Sen­sors ist als beim Voll­for­mat. Die nächst­klei­ne­re Grö­ße ist der APS-C-Sen­sor, und des­sen Cropf­ak­tor liegt bei 1,5 (Nikon, Sony) bzw. 1,6 (Canon). Vie­le Foto­gra­fen glau­ben, dass der Cropf­ak­tor etwas über die Flä­che des Bil­des aus­sagt, aber das stimmt nicht. Schaut man z.B. in die tech­ni­schen Daten der neu­en Voll­for­mat­ka­me­ra Nikon D850, dann ist da eine Sen­sor­grö­ße von exakt 35,9 x 23,9 mm ange­ge­ben, und 35,9 x 23,9 = 858 Qua­drat­mil­li­me­ter. Das reicht nicht zum Woh­nen, aber zum Bil­der­ma­chen ist das eine sehr groß­zü­gi­ge Flä­che. Hät­te der APS-C-Sen­sor der Nikon D3400 nun eine 1,5 Mal klei­ne­re Flä­che, dann müss­te er 858/1,5 = 572 Qua­drat­mil­li­me­ter bie­ten. Doch laut  Daten­blatt ist der APS-C-Sen­sor 23,5 mm breit und 15,6 mm hoch, das ergibt nur eine Flä­che von 23,5 x 15,6 = 366,6 Quadratmillimetern.

Man kann mit einem APS-C-Sen­sor sehr gut arbei­ten, ich nut­ze neben mei­ner Canon 5D Mark IV auch eine 7D Mark II, und längst nicht jedes Por­trät mit beein­dru­cken­der Unschär­fe im Hin­ter­grund muss von einer Voll­for­mat­ka­me­ra gemacht sein. Inso­fern soll­te man sich nicht beun­ru­hi­gen las­sen von der mög­li­cher­wei­se neu­en Erkennt­nis, wie klein der APS-C-Sen­sor in der eige­nen Kame­ra tat­säch­lich ist. Jeden­falls ist das Voll­for­mat nicht nur um den Fak­tor 1,5 grö­ßer als APS-C. Son­dern? Da zücken wir wie­der den Taschen­rech­ner und tip­pen ein: 858/366,6 = 2,34. Der Voll­for­mat­sen­sor ist mehr als dop­pelt so groß wie ein APS-C-Sensor.

Wenn man den APS-C-Sensor ins Hochformat dreht, dann haben zwei Exemplare davon auf einem Vollformatsensor Platz – und ein bisschen Reserve ist auch noch
Wenn man den APS-C-Sen­sor ins Hoch­for­mat dreht, dann haben tat­säch­lich zwei Exem­pla­re davon auf einem Voll­for­mat­sen­sor Platz – und ein biss­chen Reser­ve bleibt auch noch.

Vor­sichts­hal­ber prü­fen wir noch, ob das mit der Dia­go­na­le auch stimmt. Dabei hilft der Satz des Pytha­go­ras, von dem jeder schon mal gehört hat, und der hof­fent­lich auch heu­te noch Unter­richts­stoff in der Mit­tel­stu­fe ist, aber man weiß ja nie. Mein Sohn ist 27, mein Enkel noch nicht mal zwei Jah­re alt, mit dem Stoff in der Schu­le ken­ne ich mich momen­tan nicht wirk­lich aus.

Was ich aber weiß, ist, dass man mit dem Satz des Pytha­go­ras in jedem Recht­eck* die Län­ge der Dia­go­na­le berech­nen kann, wenn man die Sei­ten­län­gen kennt (z.B. 35,9 und 23,9 mm). a2 + b2 = c2, so lau­tet die mög­li­cher­wei­se geläu­figs­te For­mel aller Zei­ten, und bezo­gen auf unse­ren Voll­for­mat­sen­sor geht die For­mel dann so: 35,9+ 23,92 = c2. Eine Qua­drat­zahl, gekenn­zeich­net durch die hoch­ge­stell­te 2 am Ende, ist eine mit sich selbst mul­ti­pli­zier­te Zahl. Wir rech­nen also (35,9 x 35,9) + (23,9 x 23,9) = 1860. 1860 Mil­li­me­ter Sensordiagonale?

Nein, denn 1860 steht ja nicht für c, son­dern für c2. Also muss man schau­en, wel­che Zahl wohl mit sich selbst mul­ti­pli­ziert wur­de, um 1860 zu erge­ben. Gott­lob gibt es dafür eine Tas­te auf dem Taschen­rech­ner, die sieht aus wie eine Art V in Schreib­schrift, sie steht für die Qua­drat­wur­zel, und die suchen wir ja auch: die Wur­zel, also die Grund­la­ge unse­rer Qua­drat­zahl. Ein­mal getippt, und es steht fest: Die Wur­zel von 1860 ist 43,1 (ich run­de immer auf die ers­te Stel­le hin­term Kom­ma), und das ist dann auch die Län­ge der Sen­s­or­dia­go­na­le in Millimetern.

Auf die­sel­be Wei­se kommt der APS-C-Sen­sor auf den Prüf­stand: (23,5 x 23,5) + (15,6 x 15,6) = 795,6. Dar­aus die Wur­zel gezo­gen: 28,2. Und jetzt bit­te mal die Voll­for­mat-Dia­go­na­le dazu in Bezie­hung set­zen: 43,1/28,5 = 1,5. Voi­la!

Wie gesagt, um ein guter Foto­graf zu sein, muss man das nicht unbe­dingt wis­sen, aber ich fin­de, die­ses Wis­sen scha­det auch nicht. Zumal zum The­ma Cropf­ak­tor wirk­lich eine Men­ge Blöd­sinn kur­siert. Zum Bei­spiel, dass er ver­ant­wort­lich sei für eine Brenn­wei­ten­ver­län­ge­rung. Auch das ist falsch, aber dazu erzäh­le ich beim nächs­ten Mal mehr.

Wir wol­len ja nicht gleich mit einer Dop­pel­stun­de Mathe anfangen.

*Streng­ge­nom­men gilt der Satz des Pytha­go­ras (a2+b2=c2) aus­schließ­lich für recht­wink­li­ge Drei­ecke, aber wenn man ein Recht­eck dia­go­nal zer­teilt, erhält man genau das: zwei gleich gro­ße Drei­ecke, die jeweils einen rech­ten Win­kel haben. 

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30 Gedanken zu „Meine Kameras und der Satz des Pythagoras“

  1. Ich bin auch nur ein ganz klei­nes mathe­ma­ti­sches Licht — aber vie­len Dank für Dei­ne Aus­füh­run­gen. Wenn sich doch noch manch ande­re hit­zi­ge For­mat­dis­kus­si­on auf eine so ein­fa­che For­mel zurück­füh­ren lie­ße. Man­no­mann — Mit­tel­stu­fen Mathe­ma­tik. Ist das lan­ge her!

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  2. Ger­ne wird die (so so hoch gerühm­te) Krea­ti­vi­tät her­an­ge­zo­gen, um sei­ne künst­le­ri­sche Frei­heit zu begrün­den. Doch was nützt alle Krea­ti­vi­tät, wenn das Hand­werk­zeug unbe­kannt ist. Auch wenn der Beruf des Foto­gra­fen nicht mehr geschützt ist, so ist er doch immer noch ein Handwerksberuf. 

    Man soll­te also sein Hand­werk­zeug beherr­schen - alles ande­re sind eher Zufalls­er­fol­ge. Kommt Wis­sen, Ken­nen und Kön­nen zusam­men, dann fin­det auch die Krea­ti­vi­tät Raum und lie­fert ent­spre­chen­de Ergebnisse. 🙂

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  3. OK. wie­der mal was dazu­ge­lernt. Bringt mich zuge­ge­be­ner­ma­ßen in mei­nem Leben nicht wirk­lich wei­ter, aber zumin­det erzäh­le ich dann in Sachen Cropf­ak­tor zukünf­tig kei­nen Blöd­sinn mehr. Ruhig mehr sol­cher Infos, wer weiß was für ein Blöd­sinn da noch in mei­nem Kopf kor­ri­giert wer­den muss (.… also in Bezug auf Fotografie 😉 ).

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  4. Sehr gut erklärt, aber ich bezweif­le das, dass wirk­lich alle ver­stan­den haben, weil vie­le nicht mal mehr in der Lage sind ein­fa­che Pro­zent­sät­ze zu berech­nen. Dan­ke für den anschau­li­chen Bei­trag mit Anwen­dung des phy­ta­go­rischen Sat­zes. Ich freue mich auf den Folgeblog.

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  5. Das hat­te ich mir auch schon her­ge­lei­tet weil’s mich inter­es­siert hat. Du soll­test, der Voll­stän­dig­keit hal­ber aber noch die Ein­heit mm2 mit anfüh­ren, denn mm x mm gibt nicht Nix.
    Ich freue mich schon auf dei­ne wei­te­ren Erklä­run­gen, denn bei dem Bezug zur Brenn­wei­ten­ver­län­ge­rung bin ich bis­her auch davon aus­ge­gan­gen, dass “Brenn­wei­te im FX-For­mat x Cropf­ak­tor = Brenn­wei­te DX-For­mat” ergibt.
    Auch das Ver­hält­nis bei der Tie­fen­schär­fe wäre interessant.

    Vie­le Grüße

    Bernd Gan­tert

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  6. Wen juckt das ?
    Jetzt mal ernst­haft. Ich ver­steh den Arti­kel nicht.
    Was ist dar­an neu ? Was hab ich davon wenn ich irgend­wel­che mathe­ma­ti­sche For­meln vor­ge­knallt bekomme ?
    Lei­der Zeitverschwendung…

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  7. End­lich mal einer der das reell erklärt! Freue mich schon auf die Mähr von der Brenn­wei­ten­ver­län­ge­rung. Hab’ da schon eini­ge Erklä­run­gen gele­sen, aber kapiert habe ich bis­her keine.
    Biss dann

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  8. Nur gut dass der Begriff “Voll­for­mat” nur indi­rekt etwas mit der Sen­sor­grö­ße zu tun hat (auch wenn er andau­ernd falsch ver­wen­det wird, wird’s nicht rich­ti­ger). Voll­for­mat sagt ledig­lich aus, dass der Sen­sor den Bild­kreis des Objek­ti­ves voll ausnutzt…
    Ich benut­ze einen Micro-Four-Thirds-Vollformat-Sensor 😉

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    • @Rolf: Du hast Recht, ich habe hier die land­läu­fi­ge Erklä­rung benutzt. Aber wenn ich mich um das The­ma Brenn­wei­ten­ver­län­ge­rung küm­me­re, gehe ich auch auf die von Dir erwähn­te Defi­ni­ti­on des Voll­for­mats ein.

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  9. Was ich mich immer wie­der fra­ge: War­um ist das Voll­for­mat klei­ner als Mit­tel­for­mat? Wir spre­chen hier doch von Klein­bild, oder nicht…?

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    • @Daniel Good: Stimmt, das Wort Voll­for­mat ist etwas irre­füh­rend. Ganz frü­her gab es halt die Groß­for­mat­ka­me­ras (die ruh­ten auf dem Sta­tiv, und der Foto­graf steck­te unter einem Vor­hang dahin­ter) und als hand­li­che­re Grö­ße die Mit­tel­for­mat­ka­me­ras. Die Revo­lu­ti­on kam dann mit der Ein­füh­rung des Klein­bild­for­ma­tes (Oskar Bar­nack, Lei­ca), das sich in der ana­lo­gen Foto­gra­fie zum Maß aller Din­ge ent­wi­ckel­te – zumin­dest als Ama­teur­fo­to­graf kam man gut durchs Leben, wenn man jen­seits des Klein­bild­films nichts ande­res kannte.

      Die ers­ten digi­ta­len Sen­so­ren waren deut­lich klei­ner als ein Klein­bild­ne­ga­tiv, schon aus Kos­ten­grün­den, und irgend­wer hat wahr­schein­lich irgend­wann mal gesagt: Mensch, wir müs­sen aber drin­gend das vol­le Klein­bild­for­mat errei­chen. Jeden­falls ist mit Voll­for­mat genau das gemeint: vol­les, also ech­tes Klein­bild­for­mat. Mit­tel­for­mat war, ist und bleibt trotz­dem grö­ßer, Groß­for­mat natür­lich sowieso.

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  10. Sehr schön erklärt, das hät­te Shel­don nicht bes­ser gekonnt 🙂
    Kannst du in einer der nächs­ten Mathe-/Phy­sik-Stun­den viel­leicht erläu­tern, war­um bei einer Voll­for­mat­ka­me­ra der Schär­fe­be­reich eines Bil­des klei­ner ist als bei einer Kame­ra mit klei­ne­rem Sensor?

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  11. Hal­lo Stefan,
    vie­len Dank für die klei­ne Lehr­stun­de! Als gelehrn­ter Foto­graf, mit Lieb­lings­fach Mathe in der Berufschu­le freue ich mich über die klä­ren­den Wor­te! Zu mei­ner Schul­zeit gab es den Begriff Cropf­ak­tor zwar noch nicht, aber die Grö­ßen­ver­hält­nis­se der ver­schie­ne­nen Auf­nah­me­for­ma­te (8“x10” vs. 13cm x 18cm vs. 9cm x 12cm) waren auch damals schon Stoff für vie­le Dis­kus­sio­nen! Ich bin gespannt auf die Fort­set­zun­gen, vor allen wenn wir dann den span­nen­den Hin­ter­grund des “zuläs­si­gen Zer­streu­ungs­keis­durch­mes­sers” ken­nen lernen!
    Ste­fan, Mathe 1, setzen!
    Halt! Noch nicht, Fran­zö­sisch muß noch geübt wer­den! Voi­là schreibt man mit “accent grave”. 😉
    Kol­le­gia­le Grü­ße aus Ludwigsburg
    Jochen Kubik

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  12. Hal­lo Stefan,

    Toll geschrie­ben und erklärt. Nur ver­stan­den habe ich nur die Hälfte?
    Ich mache es mir da ein wenig einfacher.…..
    Ich benut­ze ein­fach bei­de For­ma­te und habe dabei Spaß an tol­len Fotos.

    My2cents
    Thomas

    Antworten
  13. Hal­lo Stefan,

    ich hof­fe, dass durch dei­nen Arti­kel ein paar mehr Leu­te den Zusam­men­hang zwi­schen Ver­län­ge­rung der Dia­go­na­le und Ver­grö­ße­rung der Flä­che verstehen.
    Das ist auch bei Piz­za hilf­reich. Die 36cm Piz­za ist eben fast dop­pelt so groß, in der Flä­che, wie das 26cm Exem­plar und nicht bloß um die Hälf­te grö­ßer. Auch wenn der Durch­mes­ser das suggeriert.

    Und zum The­ma “Brenn­wei­ten-Ver­län­ge­rung” hat Mar­tin Kro­lop in einem der Vide­os sei­ner Objek­tiv-Rei­he und dem Blog dazu eine wirk­lich gute Erklä­rung gehabt. Kann ich nur jedem zum ansehen/lesen empfehlen.

    Gruß
    Heiko

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    • Stimmt, dan­ke. Und um auch dafür die kor­rek­te For­mel zu nen­nen: Die Flä­che eines Krei­ses ist immer Pi mal r zum Qua­drat. Pi ist eine irra­tio­na­le Zahl (also mit end­lo­sen Stel­len hin­term Kom­ma), die man mit 3,14 aber seri­ös ange­ben kann. Und r steht für den Radi­us, der wie­der­um die Hälf­te des Durch­mes­sers ist. Im Fall einer Piz­za mit 26 cm Durch­mes­ser (das ist die Linie, die ent­steht, wenn man die Piz­za exakt hal­biert) beträgt der Radi­us also 13 cm. Die Flä­che misst dem­nach 3,14 x 13 cm x 13 cm = 530,66 Qua­drat­zen­ti­me­ter. Und die 36er-Piz­za? 3,14 x 18 cm x 18 cm = 1017,36 Qua­drat­zen­ti­me­ter, tat­säch­lich fast dop­pelt so groß. Ich bin übri­gens gera­de nach Kali­for­ni­en geflo­gen, habe fälsch­li­cher­wei­se nach­mit­tags geschla­fen, und des­we­gen habe ich jetzt Zeit für sowas 😉

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  14. Ja, ja, die Algebra…
    Somit ist auch klar, dass eine Erhö­hung der Blen­den­zahl um dem Fak­tor 1,4 (genau­er Wur­zel aus 2) eine Hal­bie­rung der Licht­men­ge bedeutet.
    Also: Ver­grö­ße­re ich den Durch­mes­ser der Blen­de um den Fak­tor 1,4, ver­dop­pe­le ich die Flä­che, durch die Licht ein­fal­len kann.

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  15. Das ist zwar alles kor­rekt, aber mir erschließt sich nicht, war­um es für die­se Betrach­tung sinn­voll ist, die Dia­go­na­le zu ver­wen­den. Für die Sei­ten­län­gen gel­ten de Ver­hält­nis­se doch genau­so und die Voll­for­mat-Sen­sor­grö­ße heißt ja auch “35 mm Klein­bild-Äqui­va­lent” wegen der Seitenlänge.

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    • Die Dia­go­na­le ent­hält bei­de Kan­ten, das hilft beim Umrech­nen von Bild­for­mat 3:2 zu 4:3. Mit der Flä­che kann man auch Rech­nen, das gibt nicht den exakt glei­chen Cropf­ak­tor, aber gerun­det passt das ganz gut zu den übli­chen For­ma­ten (Die Voll­for­mat-Dia­go­na­le ist etwas mehr als dop­pelt so groß, wie die M43-Dia­go­na­le, die Flä­che ist aber etwas weni­ger als 4x so groß, der Cropf­ak­tor 2 ist also ein­mal ab- und ein­mal aufgerundet).

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  16. Der Cropf­ak­tor sagt sehr wohl etwas über die Flä­che aus, man muss ihn dazu “in Flä­che umrech­nen”, d.h. quadrieren:
    24*36 = 16*1,5 * 24*1,5 oder
    Flä­che Voll­for­mat = Flä­che Crop­for­mat * Cropfaktor²

    Und das alles ohne Pythagoras 😉

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